Hòa cùng niềm vui và tự hào của người Việt Nam ở khắp nơi trên thế giới trước sự kiện Gs Ngô Bảo Châu đoạt giải thưởng Toán học cao qúy, Fields, chúng tôi gửi đến độc giả một chút tìm hiểu về mối quan hệ gần gũi có từ lâu giữa hai lãnh vực tưởng chừng chẳng mấy liên quan: Âm nhạc và Toán học.

Nhiều đặc trưng của âm nhạc vốn đã xuất phát từ toán học như các con số và các mẫu như: hệ thống thang âm [1], các mẫu hòa âm [2], các hình thức âm nhạc phức tạp và ngoài tự nhiên (như phức điệu - fugue) [3], tiết điệu [4], v.v…cho thấy những liên kết hiển nhiên giữa toán học và âm nhạc. Âm nhạc và Toán học, cả hai đều là những ngôn ngữ phổ quát và đều có riêng  những quan niệm, luật lệ, ký hiệu, thuật ngữ. Có thể nói, ai biết đếm phân biệt đến 1/16 và khái niệm được về chia thành 2, 3 thì đều có thể đọc nhạc.

Cả nhạc sĩ lẫn nhà toán học đều sử dụng những khái niệm tương tự nhau. Nhạc sĩ dùng đến các con số, tiết tấu, mẫu, hình thức. Các nhà toán học bổ sung vào đó bằng những con số, cách đo lường, đại số và hình học. Cả hai đều dùng các con số để truyền đạt trên giấy những gì họ nghe và thấy được trong trí óc: nhạc sĩ viết các sáng tác của mình trên khuông nhạc, còn nhà toán học thu nhận sự kiện và con số trong sổ tay tính toán của mình. Họ dùng đến nhiều loại nốt nhạc và ký hiệu khác nhau: nốt tròn, trắng,…và những hình dạng này quy định độ dài về thời gian của từng nốt nhạc; ngược lại các dấu lặng thì quy định khoảng ngừng nghỉ khác nhau; các dấu hóa cho biết cao độ được tăng lên hay hạ xuống, v.v… Nhà toán học sử dụng hình dạng khác nhau như: tròn, vuông, chữ nhật, bầu dục, tam giác, v.v… Những hình dạng này được dùng để tính diện tích, thể tích, lập biểu đồ, và đóng vai trò quan trọng trong môn hình học. Khi nhạc sĩ dùng đến tiết tấu, họ đang đo lường độ dài của các nốt nhạc để xác định loại độ dài nào mình cần đến. Nhà toán học cũng đo lường theo một cách khác; họ đo lường thời gian, chiều dài trong các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày như tính vận tốc xe chạy, đo chiều dài một căn nhà, v.v…

Âm nhạc được hình thành từ các mẫu. Các nốt nhạc được nhóm lại với nhau theo các mẫu để tạo thành những tiết tấu chính xác, các âm đi lên – xuống theo các mẫu để tạo nên một thang âm, cung giọng riêng, và âm lượng, cường độ được tăng lên hay giảm đi theo những mẫu để phù hợp với các ca khúc. Trong môn Đại số, các nhà toán học cũng sử dụng các mẫu như vậy. Toán học là một nền tảng chủ yếu để hiểu được nguồn gốc các thang âm. Việc tạo thành âm thể, thang âm là do sự sắp đặt các âm trong một thứ tự, một tỉ lệ nào đó đáp ứng với nhu cầu thưởng thức của người nghe ở các nơi trên thế giới. 

Ví dụ 1: Âm thể (điệu thức) Đô Trưởng của âm nhạc phương Tây được thành lập theo một quan hệ số và thứ tự như sau:Một số khái niệm âm nhạc được xây dựng trên cơ sở toán học như: cao độ, tần số, quãng, các quãng 5, v.v… Theo luật tự nhiên, mỗi âm thanh có cao độ đều tương ứng với một sóng âm (có tần số hay chu kỳ và được đo bằng đại lượng Hertz hay Hz). Một quãng nhạc (khoảng cách giữa 2 nốt nhạc), về mặt toán học, quãng được hiểu bằng tỷ số n/m, trong đó, n là tần số của nốt thấp và m là tần số của nốt nhạc cao; và n, m là những số tự nhiên (nghĩa là n, m Î N [m thuộc N], nói theo toán học). Tỷ số 3/2 là con số đặc trưng cho một quãng 5 đúng. Người Hy-lạp là dân tộc đầu tiên liên hệ toán học với các thang âm, sử dụng các thang âm bằng cách kết hợp các âm theo những tỷ lệ tần số nói trên. Một quãng 8 (giữa hai nốt cùng tên nhưng cách nhau 12 bán cung) được đo bằng tỷ lệ 2/1 (tần số nốt cao gấp đôi tần số nốt thấp).

Ít người biết rằng Claudius Ptolemy, nhà thiên văn học có ảnh hưởng lớn tại Hy-lạp, vừa là nhà toán học người La-mã sinh ra ở Ai-cập khoảng năm 85 trước Công nguyên đã là người dùng các tỷ số toán học mà xác định nên các bậc trong thang âm. Công trình của ông mang tên “Harmonics, về Lý thuyết âm  nhạc và toán học của âm nhạc” dựa theo những phát minh của Pythagoras (nhà toán học Hy-lạp ở Tk. V TCN) trước đó để trở thành nền tảng căn bản tạo nên thang âm điều hòa của âm nhạc phương Tây. Như đã nói, toán học là một nền tảng của việc xác lập thang âm. Điều này đã được các nhà toán học tiên khởi như Pythagoras, thậm chí dùng đến những kiến thức có từ thời Babylon cổ đại (thiên niên kỷ thứ 4 TCN). Pythagoras đã xác định thang âm bằng cách dựa trên nguyên tắc về các quãng 5 đúng – tỷ lệ giữa bước sóng của âm đầu tiên của thanh âm với âm thứ 5 được điểu chỉnh bằng 2/3. Như vậy, tỷ lệ giũa bước sóng của âm đầu tiên và âm thứ 8 (tức là lần lặp lại đầu tiên của tên gọi nốt thứnhất) là 1/2. Ví dụ, lấy nốt Đô trung tâm làm chính, chúng ta có các nốt còn lại của thang âm Đô Trưởng như sau: Rê =  9/8 của Đô; Mi =  5/4 của Đô; Fa =  4/3 của Đô; Sol =  3/2 của Đô; La =  5/3 của Đô; Si = 15/8 của Đô; Đô trên cao 1 quãng 8 =  1/2 của Đô.

Có nhiều thứ trong âm nhạc có mối quan hệ hiển nhiên đến toán học, và nhiều khái niệm âm nhạc có thể được giải thích bằng cách dùng đến những con số. Quan niệm âm nhạc căn bản có lẽ là quãng tám (bát độ, octave). Nốt nhạc là một dao động của vật nào đó, và nếu chúng ta gấp đôi số lần dao động ấy lên, chúng ta sẽ có được nốt cao hơn một quãng 8; tương tự, nếu chúng ta giảm số dao động đi một nửa, chúng ta sẽ được nốt thấp hơn một quãng 8. Nếu chúng ta thu chiều dài của một sợi dây ngắn đi một đoạn bằng 1/3 chiều dài của nó, khi đoạn dây mới này dao động sẽ cho âm thanh cao hơn âm căn bản một quãng 5 đúng. Đây cũng chính là luật “tam phân tổn ích” mà người Trung Quốc cổ đã khám phá ra. Nếu chúng ta tạo nên những âm mới theo cách trên và tập hợp lại chúng trên một 1 chuỗi từ thấp đến cao, chúng ta sẽ được cái gọi là thang âm Pythagore rất thường được người Hy Lạp cổ đại dùng đến. Đó có cũng là nền tảng chủ yếu để J.S.Bach đưa ra hệ thống bình quân luật hay hệ thống thang âm điều hòa.

Khi học nhạc và lý thuyết về hợp âm, chúng ta học cách nhận ra những thay đổi hợp âm, và chúng ta cũng phải nhờ đến toán học về cấu trúc âm nhạc. Diễn hòa âm, chơi cùng một bản nhạc những ở các giọng khác nhau – là công việc đòi hỏi phải nhận ra cấu trúc của một nhạc phẩm. một nhạc sĩ giỏi có thể thường nghe một bài hát, quan sát cấu trúc âm nhạc, và chơi theo mà không cần biết trước hay tập dợt bài ấy, đó là nhờ họ nhận ra các mẫu và hình dạng quen thuộc. Tương tự, sở dĩ một nghệ sĩ piano hay violin có thể thuộc lòng những tác phẩm dài khi biểu diễn vì họ nhớ dựa trên cấu trúc và hòa âm. Loại tư duy như vậy rất giống với kiểu tư duy khi học toán, nhất là ở môn Hình học. Dưới đây là 3 nhịp đầu tiên từ một bản fugue của J.S.Bach:

Nét nhạc màu tím hồng là chủ đề. Nét nhạc màu xanh dương đậm chính là hình ảnh đảo ngược (quãng xuống thành quãng lên, v.v…) của chủ đề. Nét nhạc màu đỏ chính là chủ đề nhưng có những nốt nhạc được kéo dài gấp đôi trường độ (nốt đen thành nốt trắng, v.v…). Rõ ràng đây là một mối tương quan hình học.

Lý thuyết về âm bồi cũng khá là thú vị. Bằng các phương tiện vật lý thì người ta biết được rằng, khi một nốt vang lên trong thực tế sẽ có khá nhiều nốt có cao độ cao hơn nốt ấy cùng vang lên mà tai người không thể ghi nhận được. Những nốt ấy gọi là các âm bồi (overtones). Giả sử nốt đang khảo sát là Đô ©, thì khi vang lên nó sẽ cho các âm bồi sau đây: C', G', C'', E'', G'', [Bb]'', C''', D''', E''', [F#]''', G''',  [nốt không xác định được rõ, gọi là X]''', [Bb]''', B''', C'''' . . .Trong đó, C' là nốt cao hơn một quãng 8 của C, v.v…Nếu ghi lại những âm này theo cột dọc, chúng ta có:

Bây giờ nếu lấy những âm bồi của C có số thứ tự là bội số của 3, chúng ta sẽ có dãy âm bồi của nốt G, và nếu có số thứ tự là bội số của 5, chúng ta sẽ có dãy âm bồi của nốt E.

Trong lịch sử âm nhạc Tây phương, có nhiều nhà toán học đồng thời cũng là nhà soạn nhạc. Nổi bật nhất trong số đó phải kể đến Leonardo da Vinci (1452-1519) là một bác học người Ý với nhiều thiên tài, trong số đó có âm nhạc. Ông sáng tác nhạc đồng thời là nhạc công như có nhiều cải tiến về nhạc cụ. Ông có thể chơi bất cứ nhạc cụ dây nào dù chỉ mới thấy và nghe chúng lần đầu tiên. Tuy nhiên nhạc cụ mà ông thành thạo nhất là đàn lyre.

Thelonius Monk (1917-1982), nhà soạn nhạc và nghệ sĩ biểu diễn Jazz người Mỹ đã nói: “Từ trong tiềm thức, tất cả các nhạc sĩ đều là những nhà toán học.” Như vậy có một mối liên quan đặc biệt gần gũi nào giữa nhà toán học và nhạc sĩ hay nói cách khác âm nhạc và toán học là bạn đồng hành chung thủy. Thế nhưng chúng ta có được bao nhiêu “Ngô Bảo Châu” cho âm nhạc Việt Nam?

Nguyễn Bách ANVN13 (09/2010)